Integral

ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)
Anti turunan (anti pendiferensialan) atau yang biasa kita sebut integral merupakan suatu operasi balikan (invers) dari pendiferensialan (penurunan).
Definisi :
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f (x) untuk semua x dalam I. (jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi).
Misalnya, kita mencari integral dari f(x) = 3x² pada (-∞,∞).
Ø Maka kita peroleh integral dari f(x) = 3x² adalah F(x) = x³. Dan hal ini adalah benar, karena turunan dari integral f(x) → F’(x) = f(x) → 3x² = 3x².
Ø Akan tetapi untuk F(x) = x³ + 5 juga memenuhi F’(x) = 3x², berarti ini juga merupakan suatu anti turunan dari f(x) = 3x².
Ø Hal ini dipertegas oleh grafik yang menunjukkan bahwa F(x) = 3x² + C dengan C konstanta sebarang adalah suatu integral dari 3x² pada (-∞,∞).
Ø Pernyataan inipun dipertegas kembali bahwa setiap integral f(x) = 3x² berbentuk F(x) = x³ + C sesuai Teorema 4.8.B yang berbunyi :
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua-x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C untuk semua x dalam (a, b).
Dari penjelasan di atas, dapat kita simpulkan bahwa jika suatu fungsi f mempunyai suatu integral, maka turunan dari integral itupun akan bernilai sama walaupun ditambahkan dengan suatu konstanta sebarang.
Jadi mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru f dapat dituliskan :
∫ f(x) dx = F(x) + C
Persamaan itu adalah benar, asalkan F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx. Sehingga rumus di atas dapat juga dituliskan :
∫ dF(x) = F(x) + C
NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN
Jika dalam suatu turunan kita gunakan lambang Dx, maka dalam integral pada awalnya digunakan lambang Ax. Misalnya :
Ax (5x⁴) = x⁵ + C
Kemudian, terjadi perubahan pemakaian lambang dan itu digunakan sampai sekarang yaitu dengan menggunakan notasi Leibniz. Lambangnya adalah ∫ f(x) dx. Leibniz memakai istilah integral tak-tentu, dengan ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran. Misalnya :
∫ 5x⁴ dx = x⁵ + C.
Dimana ∫ disebut tanda integral dan 5x⁴ disebut integran.
Berikut adalah beberapa aturan penulisan lambang integral.
Teorema A
(Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ xr dx = (x ^{r + 1} /r + 1) + C
Perhatikan bahwa anti penurunan suatu pangkat dari x, kita perbesar pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yang baru (pangkat semula ditambah 1).
Apabila r = 0 sehingga angka atau bentuk apapun apabila pangkatnya nol memberikan hasil 1, dan integralnya adalah ;
∫ 1 dx = x + C
Teorema B
∫ sin x dx = – cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C
INTEGRAL TAK-TENTU ADALAH LINEAR
Teorema C
(Kelinearan dari ∫ . . . dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka :
i. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx ;
ii. ∫ [ f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx;
iii. ∫ [ f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx.
Teorema D
Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka
∫ [g(x)r g’(x) dx = ([g(x)]^r+1 /r + 1) + C
Contoh Soal :
Cari anti turunan F(x) + C dari 18x⁸ – 16x³ + 6x² – 2x + 5
Penyelesaian :
∫ (18x⁸ – 16x³ + 6x² – 2x + 5) dx
= ∫ 18x⁸ dx – ∫16x³ dx + ∫6x² dx – ∫2x dx + ∫5 dx
= 18 ∫x⁸ dx – 16 ∫x³ dx + 6 ∫x² dx – 2 ∫x dx + 5 ∫1 dx
= 18 ( x⁹ /9 + C₁) – 16 (x⁴/4 + C₂) + 6 (x³/3+C₃) – 2 (x²/2 + C₄) + 5 (x + C₅)
= 2x⁹ – 4x⁴ + 2x³ – x² + 5x + (18C₁ – 16C₂ + 6C₃ – 2C₄ + 5C₅)
= 2x⁹ – 4x⁴ + 2x³ – x² + 5x + C
5.2 PENGANTAR UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial adalah sebarang persamaan yang mencakup turunan (diferensial) yang tidak diketahui fungsinya. Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui itu.
Disini kita hanya meninjau kasus yang paling sederhana, yakni persamaan diferensial tingkat satu yang terpisahkan, maksudnya persamaan dalam bentuk turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui itu dan variabelnya terpisahkan, misalnya suku y berada pada satu ruas dari persamaan dan suku x pada ruas yang lainnya.
PEMISAHAN VARIABEL
Contoh persamaan diferensial yaitu dy/dx = 4x³ + x²/ y³.
Didalam contoh tersebut, terlihat bahwa persamaan dalam bentuk turunan pertama (dy/dx bukan d²y/dx²) dan variabelnya bisa dipisahkan yaitu dengan cara :
→ dy/dx = (4x³ + x² )/ y³ (kedua ruas dikali y³dx)
→ y³dy = (4x³ + x² ) dx
Disini terlihat bahwa variabel terpisahkan, suku y berada pada ruas kiri dan suku x berada pada ruas kanan.
MASALAH GERAK
Didalam konteks turunan, kita mengenal s(t) yang menyatakan posisi, v(t) menyatakan kecepatan, dan a(t) menyatakan percepatan. Dimana :
Ø v(t) turunan pertama dari s(t) → s’(t) = ds/dt
Ø a(t) turunan pertama dari v(t) → v’(t) = dv/dt atau
turunan kedua dari s(t) → s”(t) = d²s/ dt²
Dan di dalam konteks integral, kita menuju proses kebalikannya. Misalnya apabila a(t) diketahui maka kita akan mancari v(t) dan s(t) dengan menggunakan konsep integral. Dimana :
Ø v integral dari a → v = ∫ a dt
Ø s integral dari v → s = ∫ v dt
Contoh Soal :
1. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy / dx = 6x⁵ + 1; kemudian cari penyelesaian bilamana y = 4 di x = 1.
Penyelesaian :
Ø dy / dx = 6x⁵ + 1
dy = (3x² + 1) dx
Ø ∫ dy = ∫ (6x⁵ + 1) dx
y + C1 = x⁶ + 1 + C2
y = x⁶ + 1 + C2 – C1
y = x⁶ + 1 + C
Ø Substitusikan y =4 dan x = 1
4 = 6 + 1 + C
4 = 7 + C
C = -3
Jadi persamaannya menjadi y = x⁶ +1 – 3 = x⁶ -2
2. Pada permukaan planet X, percepatan gravitasi adalah -5,28 kaki per detik. Jika sebuah benda dilemparkan ke atas dari suatu ketinggian awal 500 kaki dengan kecepatan 55 kaki per detik, cari kecepatan dan tingginya 3 detik kemudian.
Penyelesaian :
Diket : a = -5,28
v = 55
s = 500
Dit : a. v → t = 3 = . . . ?
b. s → t = 3 = . . .?
Jawab :
Ø a = dv / dt = -5,28
v = ∫ -5,28 dt
v = -5,28t + C
Karena v = 55 pada t = 0 maka C = 55, sehingga :
v = -5,28t + 55
Ø v = ds / dt = -5,28t + 55
s = ∫(-5,28t + 55) dt
s = -2,64 t² + 55t + C
Karena s = 500 pada t = 0 maka C = 500, sehingga :
s = -2,64 t² + 55t + 500
Jadi v dan s pada t = 3, yaitu :

1. v = -5,28(3) + 55 = -15,84 + 55 = 39,16 kaki per detik.
2. s = -2,64 (3)² + 55(3) + 500 = -23,76 + 165 + 500 = 641,24 kaki.

Categories: Matematika SMA